Couple de Bézout avec la calculatrice - Corrigé

Énoncé

À l'aide de la calculatrice, déterminer deux entiers relatifs \(u\) et \(v\) tels que \(17u+11v=1\) . Que peut-on en déduire pour les entiers  \(17\) et  \(11\) ?

Solution

On a  \(\begin{align*}17u+11v=1& \ \ \Longleftrightarrow \ \ 11v=1-17u\ \ \Longleftrightarrow \ \ v=\frac{1-17u}{11}\end{align*}\)  

Avec la calculatrice, on peut construire un tableau des valeurs de \(v=f(u)=\dfrac{1-17u}{11}\)  en fonction de \(u\) .

On cherche lorsque  \(u\)  et  \(v\)  sont tous les deux entiers, et on constate par exemple que le couple \((u;v)=(2;-3)\) convient (mais aussi  \((13;-20)\)  ou  \((-9;14)\)  par exemple).

D'après le théorème de Bézout, \(17\) et \(11\) sont donc premiers entre eux.